1. 离散时间系统与信号总结

1.1 离散时间系统特性

设离散时间系统 $T$$T$ 为 $y[n]=T(x[n])$$y[n]=T(x[n])$.

• 线性性：

  $$T(a{x}_1[n]+b{x}_2[n])=a{y}_1[n]+b{y}_2[n]$$

  特点：零输入产生零输出。

• 增量线性系统：

  $$T(x_1[n])-T(x_2[n])=\alpha (x_1[n]-x_2[n])$$

  例如 $y[n]=3x[n]+2$$y[n]=3x[n]+2$.

• 移不变系统：

  $$T(x[n])=y[n]\Rightarrow T(x[n-m])=y[n-m]$$

  例如 $y[n]=nx[n],y[n]=x[Dn]$$y[n]=nx[n],y[n]=x[Dn]$ 不是移不变系统。

• 因果系统：指系统的输出不发生在输入之前，即 $y[n_0]$$y[n_0]$ 只取决于 $x[n],n\le n_0$$x[n],n\le n_0$.

  若对于线性移不变系统来说：

  $$h[n]=0,n<0$$

  则是因果系统。

• 稳定系统：有界输入产生有界输出，对于线性移不变系统，

  $$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|h[n]|<\mathrm{\infty }$$

例如，系统 $y(n)=x(n-1)+3x(n-2)$$y(n)=x(n-1)+3x(n-2)$ 是线性、时不变、因果系统。

1.2 数字信号处理系统

加法器，乘法器，延时单元。在初始条件归 0 的条件下，讨论递归的问题。

1.3 离散时间信号

离散时间信号 是一个复数值的序列，即 $x[n]\in \mathbb{C},n\in \mathbb{Z}$$x[n]\in \C,n\in \Z$，可以由模拟信号 $x_a(t)$$x_a(t)$ 采样得到：

离散时间信号的分类 如下：

• 有限长度：$x[n],n=0,1,2,\cdots ,N-1$$x[n],\quad n=0,1,2,\cdots,N-1$.

• 无限长度：$x[n],n\in \mathbb{Z}$$x[n],\quad n\in \Z$.

  • 周期信号 $\tilde{x}[n]$$\tilde{x}[n]$，包含有限信息，却有无限长度：

    $$\tilde{x}[n]=\tilde{x}[n+kN],n,k,N\in \mathbb{Z}$$

  • 有限支持信号 $\bar{x}[n]$$\overline{x}[n]$，包含有限信息，却有无限长度：

    $$\bar{x}[n]=0,\mathrm{for}M>n\mathrm{or}n>M+N-1$$

无限长信号可以包含有限信息（v）

模拟信号可以包含有限信息（v）

离散时间信号的运算 如下：

• 基于对幅度的运算：加法、乘法、累加、能量、功率；

• 基于对变量的运算：移位、翻折、时间尺度变换——抽取和插值。

  

• 既对幅度运算又对变量运算：差分、卷积和、相关。

  卷积和的定义：

  $$y[n]=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[m]h[n-m]=x[n]\ast h[n]$$

  相关的定义：

  $$y[n]=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]h[n-m]=x[m]\ast h[-m]$$

  卷积和满足交换律，相关不满足交换律

典型离散信号

• 单位脉冲序列 $\delta [n]$$\delta[n]$;

• 单位阶跃序列 $u[n]$$u[n]$;

• 矩形序列 $R_N[n]$$R_{N}[n]$;

• 单边指数序列 $x[n]=a^{n}u[n]$$x[n]=a^{n} u[n]$;

• 复指数序列 $x[n]=e^{(j{\omega }_0+\sigma )n}$$x[n]=e^{(j\omega_0+\sigma) n}$;

• 正弦序列 $x[n]=A\sin ({\omega }_{0}n+\theta )$$x[n]=A\sin (\omega_0 n+\theta)$;

模拟频率和数字频率的对比

解释 $2\pi$$2\pi$ 周期性：

经过采样后，无法分辨 ${\omega }_0$$\omega_0$ 和 ${\omega }_0+2\pi$$\omega_0+2\pi$.

当 ${\omega }_0$$\omega_0$ 取 $\pi$$\pi$ 的时候，说明序列变化最快。

周期信号

对周期性模拟正弦序列 $\cos ({\omega }_{0}t+\phi )$$\cos(\omega_0 t+\varphi)$ 抽样得到的正弦序列 $x[n]=\cos ({\omega }_{0}n+\phi )$$x[n]=\cos(\omega_0 n +\varphi)$ 不一定是周期性的，需要满足 $2\pi /{\omega }_0=N/M$$2\pi/\omega_0=N/M$，是有理数。